Los puntos medios de los lados de un triángulo son (2,5), (4,2), y (1,1). Hallar las coordenadas de los 3 vértices.
Para resolver este
problema primero vamos a nombrar a los puntos de alguna forma arbitraria por
ejemplo puedes llamar A al punto ( 2 , 5 ) B al punto ( 4 , 2 ) y C al punto (
1 , 1 ) entonces:
A = ( 2 , 5 ) B = ( 4 , 2 ) y C = ( 1 , 1 ) lo que queremos encontrar son los vértices del triángulo cuyos puntos medios son A , B y C vamos a nombrar a esos vértices como V1 , V2 , V3 y vamos a darles unas coordenadas arbitrarias:
V1 = (x1, x2 ) V2 = ( x2, y2 ) y V3 = ( x3 , y3 )
de esta forma podemos formar un triangulo cuyos lados sean los segmentos que unen los puntos V1 V2 y V3
entonces el problema se reduce a encontrar los valores de x1 , x2 ,x3
y de y1 , y2 , y3
supongamos que A es el punto medio del lado | V1V2 | ( este es el lado que va del vertice V1 al vertice V2 )
que B sea el punto medio del lado | V2V3 |
y que C sea el punto medio del lado | V1V3 |
la formula para encontrar el punto medio de dos puntos cualesquiera de coordenadas P1 = (x1 , x2 ) y P2 = ( x2 , y2 ) es :
::::::x1 + x2
X = --------------
:::::::::::2
:::::::y1 + y2
Y = --------------
::::::::::::2
Entonces el punto medio de | V1V2 | sera:
x1 + x2
-------------- = la coordenada en x del punto A entonces :
:::::2
x1 + x2
-------------- = 2 simplificando x1 + x2 = 4 -------➊
:::::2
y1 + y2
-------------- = la coordenada en y del punto A
:::::2
y1 + y2
--------------- = 5 simplificando de nuevo y1 + y2 = 10 --------➋
:::::2
Hacemos lo mismo para los demás puntos decimos que B es el punto medio del segmento | V2V3 | y que C es el punto medio del segmento
| V1V3 | entonces
para B :
x2 + x3
------------- = 4 ; x2 + x3 = 8 -------➌
::::::2
y2 + y3
------------ = 2 ; y2 + y3 = 4 -------➍
:::::2
para C
x1 + x3
------------ = 1 x1 + x3 = 2 ------➎
:::::2
y1 + y3
------------- = 1 y1 + y3 = 2 -------( 6 )
;;;;;;2
con las ecuaciones ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ y ( 6 ) formamos dos sitemas de ecuaciones para encontrar los valores de x1 x2 x3 y1 y2 y3
x1 + x2 = 4 -------➊::::::::::::::::::::::y1 + y2 = 10------ ➋
x2 + x3 = 8 -------➌::::::::::::::::::::::y2 + y3 = 4 ------- ➍
x1 + x3 = 2 -------➎:::::::::::::::::::::: y1 + y3 = 2 ------( 6 )
resolviendo estos sistemas de ecuaciones hallamos los valores para las x y para las y voy a resolver solo el de las x el de y se resuelve igual
de ➊ despejo a x1 x1 = 4 - x2 sustituyo en ➎ y sumo con la ecuacion ➌
x2 + x3 = 8 -------------➌
(4 - x2 ) + x3 = 2 -----➎
2x3 = 6 entonces x3 = 3 poniendo este valor en ➌
x2 = 5 sustituyendo en ➊ x1 = - 1 entonces x1 = -1 x2 = 5 x3 = 3
de manera semejante obtenemos y1 = 4 y2 = 6 y3 = - 2 y finalmente las coordenadas de los vértices son
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V1 = ( -1 , 4 ) V2 = ( 5 , 6 ) V3 = ( 3 , - 2 )
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A = ( 2 , 5 ) B = ( 4 , 2 ) y C = ( 1 , 1 ) lo que queremos encontrar son los vértices del triángulo cuyos puntos medios son A , B y C vamos a nombrar a esos vértices como V1 , V2 , V3 y vamos a darles unas coordenadas arbitrarias:
V1 = (x1, x2 ) V2 = ( x2, y2 ) y V3 = ( x3 , y3 )
de esta forma podemos formar un triangulo cuyos lados sean los segmentos que unen los puntos V1 V2 y V3
entonces el problema se reduce a encontrar los valores de x1 , x2 ,x3
y de y1 , y2 , y3
supongamos que A es el punto medio del lado | V1V2 | ( este es el lado que va del vertice V1 al vertice V2 )
que B sea el punto medio del lado | V2V3 |
y que C sea el punto medio del lado | V1V3 |
la formula para encontrar el punto medio de dos puntos cualesquiera de coordenadas P1 = (x1 , x2 ) y P2 = ( x2 , y2 ) es :
::::::x1 + x2
X = --------------
:::::::::::2
:::::::y1 + y2
Y = --------------
::::::::::::2
Entonces el punto medio de | V1V2 | sera:
x1 + x2
-------------- = la coordenada en x del punto A entonces :
:::::2
x1 + x2
-------------- = 2 simplificando x1 + x2 = 4 -------➊
:::::2
y1 + y2
-------------- = la coordenada en y del punto A
:::::2
y1 + y2
--------------- = 5 simplificando de nuevo y1 + y2 = 10 --------➋
:::::2
Hacemos lo mismo para los demás puntos decimos que B es el punto medio del segmento | V2V3 | y que C es el punto medio del segmento
| V1V3 | entonces
para B :
x2 + x3
------------- = 4 ; x2 + x3 = 8 -------➌
::::::2
y2 + y3
------------ = 2 ; y2 + y3 = 4 -------➍
:::::2
para C
x1 + x3
------------ = 1 x1 + x3 = 2 ------➎
:::::2
y1 + y3
------------- = 1 y1 + y3 = 2 -------( 6 )
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con las ecuaciones ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ y ( 6 ) formamos dos sitemas de ecuaciones para encontrar los valores de x1 x2 x3 y1 y2 y3
x1 + x2 = 4 -------➊::::::::::::::::::::::y1 + y2 = 10------ ➋
x2 + x3 = 8 -------➌::::::::::::::::::::::y2 + y3 = 4 ------- ➍
x1 + x3 = 2 -------➎:::::::::::::::::::::: y1 + y3 = 2 ------( 6 )
resolviendo estos sistemas de ecuaciones hallamos los valores para las x y para las y voy a resolver solo el de las x el de y se resuelve igual
de ➊ despejo a x1 x1 = 4 - x2 sustituyo en ➎ y sumo con la ecuacion ➌
x2 + x3 = 8 -------------➌
(4 - x2 ) + x3 = 2 -----➎
2x3 = 6 entonces x3 = 3 poniendo este valor en ➌
x2 = 5 sustituyendo en ➊ x1 = - 1 entonces x1 = -1 x2 = 5 x3 = 3
de manera semejante obtenemos y1 = 4 y2 = 6 y3 = - 2 y finalmente las coordenadas de los vértices son
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V1 = ( -1 , 4 ) V2 = ( 5 , 6 ) V3 = ( 3 , - 2 )
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MAS RESUMIDO
punto medio de un segmento(P):
A=(a,b)
B=(c,d)
entonces:
P=((a+c)/2,(b+d)/2)
SOLUCION:
si los vertices son:
A=(a,b)
B=(c,d)
C=(e,f)
Aplicamos la formula para los puntos medios de los lados:
AB=(2,5)
entonces:
a+c=4......(1)
b+d=10....(2)
BC=(4,2)
entonces:
c+e=8....(3)
d+f=4.....(4)
AC=(1,1)
entonces:
a+e=2....(5)
b+f=2.....(6)
de (1),(3) y (5):
a=-1
c=5
e=3
de (2),(4) y (6):
b=4
d=6
f=-2
Los vértices serían:
R.- (-1;4),(5;6) y (3;-2)
A=(a,b)
B=(c,d)
entonces:
P=((a+c)/2,(b+d)/2)
SOLUCION:
si los vertices son:
A=(a,b)
B=(c,d)
C=(e,f)
Aplicamos la formula para los puntos medios de los lados:
AB=(2,5)
entonces:
a+c=4......(1)
b+d=10....(2)
BC=(4,2)
entonces:
c+e=8....(3)
d+f=4.....(4)
AC=(1,1)
entonces:
a+e=2....(5)
b+f=2.....(6)
de (1),(3) y (5):
a=-1
c=5
e=3
de (2),(4) y (6):
b=4
d=6
f=-2
Los vértices serían:
R.- (-1;4),(5;6) y (3;-2)
Por lo tanto se
pudo resolver el siguiente problema correctamente: Los puntos medios de los lados de un triángulo son (2,5),
(4,2), y (1,1). Hallar las coordenadas de los 3 vértices.
